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수학과표현
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"수학공부의 왕도는 있다!"
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안녕하세요~
강남에서만 내신&입시 15년이상의 노하우와 인프라를 갖춘
수학전문학원 김순호원장입니다.
오랜경험과 노하우를 갖춘 전문가의 눈으로 학생마다 밀착학습 코칭과 꼼꼼한 개별 지도로 자신감 회복을 시켜주며 맞춤형 수학으로 결과가 다른 선택을 경험하도록 하겠습니다.
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대부분의 학생들이 수학문제를 풀다가 안 풀리는 문제가 있으면 ‘난 이 문제를 모르나봐’ 하면서 더 이상 생각하기 멈추고 빨리 정답을 알려고 풀이 과정이나 답을 보는 경우가 있습니다. 학생마다 어느 정도 노력한 후에 모른다고 생각하는지는 차이가 있지만 이러한 학생들은 조급한 마음 때문이기도 하고, 또는 문제를 풀려고 더 생각하는 것보다 빨리 문제를 푸는 방법을 아는 것이 더 효율적이라고 생각하는 경향이 있습니다. 그러나 하나의 문제를 시간이 오래 걸려서라도 끝까지 풀어보려고 하는 경험이 단 한번만이도 있는 것과 없는 것은 수학공부를 해 가는 데 있어서 상당한 차이가 있습니다.
하나의 문제를 해결하기 위해 많은 시간을 들여서 결국 정답을 찾았다면, 첫째 그 문제를 풀기 위해 수많은 시도를 함으로써 다양한 사고방식을 경험하게 됩니다. 수학에서는 작은 조건 하나만 변경하더라도 그 문제풀이 과정이 달라지기도 합니다. 한 문제를 여러 가지 방식으로 생각하다보면 문제의 유형을 변경하더라도 이러한 문제에 좀 더 쉽게 접근할 수 있습니다. 둘째 복합적인 문제일수록 부족한 개념이 무엇인지 정확하게 인식하게 됩니다. 어려운 문제일수록 하나의 문제가 하나의 개념보다는 복수의 개념이 적용되어지는 경우가 많습니다. 이러한 문제를 풀이과정이나 답만을 알고 넘어간다면 스스로 어느 개념이 부족한지 파악하지 못하고 넘어가는 경우가 있습니다. 이러한 하나의 문제를 집중적으로 보다보면 어느 개념을 정확하지 않은지 알게 되는 시간이 됩니다. 물론 문제를 풀면서 부족한 부분의 개념은 지속적으로 보완하여야 합니다. 셋째 고생 속에 답을 찾는 희열을 느끼게 됩니다. 한 조사에 의하면 서울대 학생들은 고민하던 부분을 알게 되면 희열을 느낀 경험이 있다고 합니다. 이러한 희열은 한참을 고민하고 노력한 후에 느끼게 됩니다. 더욱이 이러한 고민을 스스로 알게 된다면 그 희열은 더욱 커지게 됩니다. 이러한 희열이 공부를 하는데 있어서 자신감과 끈기를 만들고 때론 수학공부를 하는 동기가 되게 합니다.
문제 푸는 과정은 될 수 있으면 지우지 않는 게 좋습니다. 문제를 풀다가 계산 과정이나 수가 복잡하면 잘 못 풀었다고 생각하고 풀이과정을 지우는 습관을 가진 학생이 종종 있습니다. 그러나 실제로 틀렸다고 생각하는 과정도 좀 더 전개를 하면 맞는 경우가 많이 있습니다. 학생이 풀이하는 과정중에 정의가 정확하고 논리가 정확하다면 좀 더 끈기를 가지고 끝까지 풀어보는 자세가 필요합니다. 다른 방법을 사용하더라도 먼저 풀이한 과정이 필요한 경우가 있습니다. 이러한 경우 그 과정을 다시 쓰게 되는데, 이러한 경우 문제를 푸는 시간이 오히려 더 걸릴 수 있습니다. 잘못된 풀이과정도 지우기 보다는 자신이 처음에 생각한 풀이과정의 문제점을 확인하는 과정이 필요합니다. 문제를 지우지 말아야 하는 또 다른 중요한 이유는 내가 이러한 문제를 접할 때 그 문제에 어떻게 다가가는지 살펴보는 것이 필요합니다. 이러한 과정에서 비슷한 유형의 문제에 대한 수학적 직관력이 길러지기 때문입니다.
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학생마다 수학공부를 비슷한 시간에 열심히 하더라도 그 성과가 다릅니다. 많은 학생들과 학부모님은 이런 차이를 선행을 많이 한 학생들이 성과가 좋다고 판단하곤 합니다. 그러나 선행을 많이 한다고 항상 더 나아지는 것은 아닙니다. 대부분의 학생들과 부모님들이 선행에 대해 선택이 아니라 필수라고 느끼고 있습니다. 학년에 맞는 진도는 잘 공부하는 것은 당연하고 선행을 하게 되면 미리 배워 그 과정을 여러 번 볼 수 있기 때문에 선행은 모든 학생에게 반드시 필요하다고 유행처럼 퍼져있습니다.선행은 앞으로 배울 과정을 알 수 있고 그 내용을 앎으로써 현재 내용이 보다 수월해지기도 합니다. 그러나 선행이 수학공부에 항상 도움이 되는 것은 아닙니다. 선행만 보면 재수, 삼수, 장수로 갈수록 입시에 관해 선행을 많이 한 학생들이지만 항상 성적이 오르지만은 않습니다. 수학공부를 잘 하기 위해서는 현재 학년에 맞는 진도를 집중력 있게 잘 학습한다는 것이 전제되어야합니다. 학생마다 수학을 공부할 수 있는 시간은 한정되어 있습니다. 선행을 할 경우 수학공부시간을 현재 진도를 공부할 시간과 선행 공부할 시간으로 쪼개어서 공부할 수밖에 없습니다.결국 선행을 하다보면 현재 진도를 공부할 시간이 부족하여 개념과 유형을 정확하게 습득하지 못 하게 되는 경우가 종종 있습니다. 현재의 공부에 모든 시간을 사용하면 80점을 맞을 수 있는 학생이 선행을 하면서 60점을 맞아서 오히려 수학공부를 멀리 하기도 합니다. 그리고 선행한부분에서 공부를 하게 될 때에 배운 내용이라 생각하고 소홀히 하는 경우도 있습니다. 학교 진도에 맞추어 제대로 공부를 하는 것이 우선입니다. 선행은 학생에 맞게 적절하게 시간 배분을 하는 것이 필요합니다. 선행은 상황에 따라 약이 되기도 하지만 때론 독이 될 수도 있습니다.
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수학은 서로 각 단원이 일정하게 연관되어 있어서 전 단계를 모르면 다음 학습에 장애가 됩니다. 현재 나가는 진도가 있더라도 이전에 배운 내용을 주기적으로 확인해야 합니다.누구든지 알면 쉽고 모르면 어렵습니다. 어릴 적에 어머니가 냉장고에서 다진 마늘을 꺼내라는 심부름을 시킨 적이 있습니다. 다진 마늘이 어디에 있는지 몰라 한참을 찾았습니다. 평소 냉장고에서 필요한 음식만 꺼냈지 냉장고 안에 무엇이 어디에 있는지 정확하게 알지 못했기 때문입니다. 어머니가 한참 보더니 답답하셨는지 직접 다진 마늘을 꺼내셨습니다. 나에게는 어려운 일이지만 어머니에게는 쉬운 일이었던 것입니다. 수학도 마찬가지입니다. 많은 학생들이 쉬워하는 문제도 나에게는 어려운 문제일 수가 있습니다. 나에게 쉬운 문제가 또한 다른 학생에게는 어려운 문제일 수도 있습니다. 따라서 다른 학생은 다 안다고 생각하여 모르는 것을 그냥 넘어가거나 선생님에게 질문 하는 것을 부끄러워하지 말고 적극적으로 알려고 노력하는 자세가 필요합니다.준비과정에서 모르는 것이 있고 이를 알아가는 과정은 절대 부끄러운 일이 아닙니다. 오히려 준비과정을 제대로 하지 못하여서 실제 시험을 잘 못 보았다면 정말 부끄러워하여야 합니다. 수학문제를 풀다보면 안 풀리는 문제가 있습니다. 문제를 못 푸는 이유는 지금 배우는 내용을 정확하게 몰라서 못 푸는 경우가 있습니다.이러한 경우 정의와 정리를 잘 알고 적용했는지 점검해야합니다. 때론 이 문제에 이전에 배운 내용 중에 연계된 다른 개념을 몰라서 못 푸는 경우도 있습니다. 이 때에는 지금까지 배운 내용 중에 어떤 개념을 제대로 습득하지 못 하였는지, 또는 잊어버렸는지를 정확하게 파악하고 이를 보충하는 것이 필요합니다. 예를 들어 로그함수 문제를 푸는데 문제가 어렵게 느껴지고 잘 안 풀리는 경우가 있습니다. 로그를 잘 몰라서 못 풀기도 하고 로그에 관한 내용은 잘 알지만 함수를 몰라서 또는 방정식의 내용을 몰라서 문제를 못 푸는 경우가 있습니다. 이럴 때는 수1이 아니라 고1 과정의 함수나 방정식의 내용을 다시 정확하게 익혀야합니다. 현재의 진도와 선행을 하면서도 지속적으로 전에 배운 내용을 제대로 알고 있는지 확인하는 과정이 필요합니다.
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[ 수학공부는 매일 해라 ]
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수학공부를 매일 해야 한다는 것은 많은 학생들이 알고 있습니다.그러나 스스로에게 여러 핑계를 대거나 합리화하여 이를 제대로 못 하는 경우가 많습니다.사람의 기억력은 잊어버리고 기억하기를 반복할수록 기억에 더 오래 남습니다. 하루에 많은 양을 하고 한참 후에 다시 보는 것보다 매일 시간을 정하여서 수학을 공부하는 것이 같은 시간이라도 더 효과적입니다. 따라서 수학공부는 시간을 정해서 매일 수학을 집중해서 풀어야합니다. 학생들이 자주 하는 말 중에 하나가 ‘오늘은 수학공부를 할 시간이 없었어.’라는 말입니다. 그러나 아무리 바쁜 날에는 수학문제를 단 몇 문제라도 집중해서 풀어야 합니다. 하루를 쉬게 되면 다음 시간에 수학공부를 하는 데 있어서 전에 무엇을 배웠는지 상기하고 이제 어디를 공부해야 하는지 생각하는 데 시간이 걸립니다. 그러다 보면 다음 날 수학공부에 바로 집중할 수 없어 시간적인 면이나 집중력의 면에서 효율성이 떨어집니다. 바쁜 날에도 이전에 푸는데 오래 걸렸던 문제나 잘 안 풀린 문제를 위주로 꼭 두세 문제라도 풀어야 합니다. 또는 슬럼프가 와서 수학 공부를 하기 싫은 날에는 가볍게 풀 수 있는 문제라도 매일 푸는 것이 좋습니다. 그러다 보면 다시 공부해야겠다는 생각이 들고 다음에 공부를 하는 데 있어서 좀 더 쉽게 접근할 수 있습니다. 하루라도 수학의 끈을 놓지 않는 것이 중요합니다.
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실수를 자기의 실력으로 인정해야 합니다. 실수를 너무 쉽게 생각하여 다음에는 같은 실수를 하지 않을 것이라 단정하는 것은 자만입니다. 학생들은 실수를 일정한 유형으로 반복하는 경우가 자주 있습니다. 문제를 끝까지 제대로 읽지 않아서, 문제 계산과정에서 조건을 자주 빼먹는다는 등의 경우를 잘 파악하여 문제 푸는 습관을 고쳐야합니다.그러기 위해서는 사소한 실수라고 생각되어지는 오답도 새로 풀어봐야 합니다. 틀린 부분만을 고치고 이제 ‘나는 이 문제는 알았어.’라고 넘어가는 경우 다음에도 같은 실수를 반복하기 쉽습니다. 때론 그 부분만의 문제가 아니라 처음부터 문제를 푸는 과정에서 그런 실수가 나오게 하는 요인이 있을 수 있습니다. 따라서 틀린 부분이 사소한 실수라고 생각되어지더라도 스스로 처음부터 다시 풀어보아야 합니다. 한번 틀린 문제는 그 문제를 잊어버린 후에 다시 풀 때 또 틀릴 가능성이 매우 높습니다. 결국에는 실수를 머리에 각인시키고 인위적으로 고치려는 노력이 필요합니다.